已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b≥0),其离心率为45,两准线之间的距离为252.(1)求a,b之值;(2)设点A坐标为(6,0),B为椭圆C上的动点
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b≥0),其离心率为45,两准线之间的距离为252.(1)求a,b之值;(2)设点A坐标为(6,0),B为椭圆C上的动点
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b≥0),其离心率为
4
5
,两准线之间的距离为
25
2
.
(1)求a,b之值;
(2)设点A坐标为(6,0),B为椭圆C上的动点,以A为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母A,B,P按顺时针方向排列),求P点的轨迹方程.
答案
(1)设c为椭圆的焦半径,则
c
a
=
4
5
,
a
2
c
=
25
4
,于是有a=5,c=4,∴b=3.
(2)解法一:设B点坐标为(s,t),P点坐标为(x,y).
于是有
AB
=(s-6,t),
AP
=(x-6,y)
.
因为
AB
⊥
AP
,所以有(s-6,t)(x-6,y)=(s-6)(x-6)+ty=0. ①
又因为△ABP为等腰直角三角形,所以有|AB|=|AP|,即
(s-6
)
2
+
t
2
=
(x-6
)
2
+
y
2
. ②
由①推出
s-6=-
ty
x-6
⇒(s-6
)
2
=
t
2
y
2
(x-6)
2
,代入②得t
2
=(x-6)
2
从而有 y
2
=(s-6)
2
,即s=6+y(不合题意,舍去)或s=6-y.
代入椭圆方程,即得动点P的轨迹方程
(x-6
)
2
9
+
(y-6
)
2
25
=1
.
解法二:设B(x
1
,y
1
),P(x,y),|AB|=r,则以A为圆心,r为半径的圆的参数方程为
x=6+rcosα
y=rsinα
.
设AB与x轴正方向夹角为θ,B点的参数表示为
x
1
=6+rcosθ
y
1
=rsinθ
,
P点的参数表示为
x=6+rcos(90°-θ)
y=rsin(90°-θ)
,即
x=6+rsinθ
y=-rcosθ
.
从上面两式,得到
x
1
=6-y
y
1
=x-6
.
又由于B点在椭圆上,可得
(x-6)
2
9
+
(y-6)
2
25
=1
.
此即为P点的轨迹方程.
举一反三
在平面直角坐标系中xOy中,O为坐标原点,A(-2,0),B(2,0),点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为
-
3
4
.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点D(1,0)的直线l交轨迹C于不同的两点M,N,△MON的面积是否存在最大值?若存在,求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程;若不存在,请说明理由.
题型:洛阳模拟
难度:
|
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在四边形ABCD中,已知A(0,0),D(0,4),点B在x轴上,BC
∥
AD,且对角线AC⊥BD.
(Ⅰ)求点C的轨迹方程;
(Ⅱ)若点P是直线y=2x-5上任意一点,过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF,E、F为切点,M为EF的中点.求证:PM⊥x轴;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,直线EF是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.
题型:深圳一模
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)为动点,已知点A(
2
,0),B(-
2
,0),直线PA与PB的斜率之积为定值-
1
2
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程;
(Ⅱ)若F(1,0),过点F的直线l交轨迹E于M、N两点,以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上,求直线l的方程.
题型:郑州二模
难度:
|
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平面内与两定点A
1
(-a,0),A
2
(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A
1
、A
2
两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.
(Ⅰ)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;
(Ⅱ)当m=-1时,对应的曲线为C
1
;对给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C
2
,设F
1
、F
2
是C
2
的两个焦点.试问:在C
1
上,是否存在点N,使得△F
1
NF
2
的面积S=|m|a
2
.若存在,求tanF
1
NF
2
的值;若不存在,请说明理由.
题型:湖北
难度:
|
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设F
1
、F
2
分别是椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点.
(1)设椭圆C上点
(
3
,
3
2
)
到两点F
1
、F
2
距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段KF
1
的中点B的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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