已知椭圆与双曲线2x2-2y2=1共焦点,且过(2,0)(1)求椭圆的标准方程.(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.
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已知椭圆与双曲线2x2-2y2=1共焦点,且过(2,0)(1)求椭圆的标准方程.(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆与双曲线2x
2
-2y
2
=1共焦点,且过(
2
,0
)
(1)求椭圆的标准方程.
(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.
答案
(1)依题意得,将双曲线方程标准化为
x
2
1
2
-
y
2
1
2
=1,则c=1.
∵椭圆与双曲线共焦点,∴设椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
a
2
-1
=1,∵椭圆过(
2
,0),
∴
2
a
2
+
0
a
2
-1
=1,即
a
2
=2,∴椭圆方程为
x
2
2
+
y
2
=1.
(2)依题意,设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b,弦的中点坐标为(x,y),则
y=2x+b 且
x
2
2
+
y
2
=1得,9x
2
+8xb+2b
2
-2=0,∴x
1
+x
2
=-
8b
9
,
y
1
+
y
2
=
2b
9
.
即x=-
4b
9
,y=
b
9
两式消掉b得 y=-
1
4
x.
令△=0,64b
2
-36(2b
2
-2)=0,即b=±3,所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3
即当x=±
4
3
时斜率为2的直线与椭圆相切.
所以平行弦得中点轨迹方程为:y=-
1
4
x(-
4
3
≤x≤
4
3
).
举一反三
已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P满足
|PA|
|PB|
=
1
2
,则P点的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知圆M:(x+
5
)
2
+y
2
=36,定点N(
5
,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足
NP
=2
NQ
,
GQ
•
NP
=0.
(I)求点G的轨迹C的方程;
(II)点F(x,y)在轨迹C上,求2x
2
+y的最大值与最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知定点A(1,0),定直线l:x=5,动点M(x,y)
(Ⅰ)若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为
5
5
,试求M的轨迹曲线C
1
的方程.
(Ⅱ)若曲线C
2
是以C
1
的焦点为顶点,且以C
1
的顶点为焦点,试求曲线C
2
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知平面上的两个定点O(0,0),A(0,3),动点M满足|AM|=2|OM|.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若经过点
A(
3
,2)
的直线l被动点M的轨迹E截得的弦长为2,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知动点P在曲线2x
2
-y=0上移动,则点A(0,-1)与点P连线中点的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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