设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点,(1)设椭圆C上的点(3,32)到F1,F2两点距离之和等于4,写出椭圆C的方
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设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点,(1)设椭圆C上的点(3,32)到F1,F2两点距离之和等于4,写出椭圆C的方
题型:上海模拟
难度:
来源:
设F
1
,F
2
分别是椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的左右焦点,
(1)设椭圆C上的点
(
3
,
3
2
)
到F
1
,F
2
两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段KF
1
的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k
PM
,K
PN
试探究k
PM
•K
PN
的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论.
答案
(1)由于点
(
3
,
3
2
)
在椭圆上,
(
3
)
2
a
2
+
(
3
2
)
2
b
2
=1
2a=4,
椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
焦点坐标分别为(-1,0),(1,0)
(2)设KF
1
的中点为B(x,y)则点K(2x+1,2y)
把K的坐标代入椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
中得
(2x+1)
2
4
+
(2y)
2
3
=1
线段KF
1
的中点B的轨迹方程为
(x+
1
2
)
2
+
y
2
3
4
=1
(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称
设M(x
0
,y
0
)N(-x
0
,-y
0
),p(x,y)
M,N,P在椭圆上,应满足椭圆方程,
得
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=1,
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
k
PM
=
y-
y
0
x-
x
0
,
K
PN
=
y+
y
0
x+
x
0
k
PM
•K
PN
=
y-
y
0
x-
x
0
•
y+
y
0
x+
x
0
=
y
2
-
y
0
2
x
2
-
x
0
2
=-
b
2
a
2
k
PM
•K
PN
的值与点P及直线L无关
举一反三
在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),若△ABC满足条件分别为①周长为10;②∠A=90°;③k
AB
k
AC
=1.则A的轨迹方程分别是a:x
2
+y
2
=4(y≠0);
;c:x
2
-y
2
=4(y≠0),则正确的配对关系是( )
A.①a②b③c
B.①b②a③c
C.①c②a③b
D.①b②c③a
题型:不详
难度:
|
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已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动,且
|AB|=
4
5
5
,动点P满足
2
OP
=
OA
+
OB
(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过曲线C上任意一点作它的切线l,与椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
交于M、N两点,求证:
OM
•
ON
为定值.
题型:晋中三模
难度:
|
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如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB=90°,AC=2)沿x轴滚动,设顶点A(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(x)在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为______.
题型:武进区模拟
难度:
|
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过已知圆B内一个定点A作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹是______.
题型:不详
难度:
|
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点P(a,b)是单位圆上的动点,则点Q(ab,a+b)的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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