已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动,且|AB|=455,动点P满足2OP=OA+OB(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程;(
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已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动,且|AB|=455,动点P满足2OP=OA+OB(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程;(
题型:晋中三模
难度:
来源:
已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动,且
|AB|=
4
5
5
,动点P满足
2
OP
=
OA
+
OB
(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过曲线C上任意一点作它的切线l,与椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
交于M、N两点,求证:
OM
•
ON
为定值.
答案
(1)(方法一)设P(x,y),A(x
1
,x
1
),B(x
2
,-x
2
).
∵
2
OP
=
OA
+
OB
,∴P是线段AB的中点,∴
x=
x
1
+
x
2
2
y=
x
1
-
x
2
2
.
(2分)
∵
|AB|=
4
5
5
,∴
(
x
1
-
x
2
)
2
+(
x
1
+
x
2
)
2
=
16
5
,∴
(2y
)
2
+(2x
)
2
=
16
5
.
∴化简得点P的轨迹C的方程为
x
2
+
y
2
=
4
5
.(5分)
(方法二)∵
2
OP
=
OA
+
OB
,∴P为线段AB的中点、(2分)
∵M、N分别在直线y=x和y=-x上,∴∠AOB=90°.
又
|AB|=
4
5
5
,∴
|OP|=
2
5
5
,∴点P在以原点为圆心,
2
5
5
为半径的圆上、
∴点P的轨迹C的方程为
x
2
+
y
2
=
4
5
.(5分)
(2)证明:当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,
∵l与C相切,∴
|m|
1+
k
2
=
2
5
5
,∴
m
2
=
4
5
(1+
k
2
)
.
联立
y=kx+m
x
2
+4
y
2
=4
,∴
(1+4
k
2
)
x
2
+8mkx+4
m
2
-4=0
(1+4
k
2
)
y
2
-2my+
m
2
-4
k
2
=0
.
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则x
1
•x
2
=
4
m
2
-4
1+4
k
2
,
y
1
y
2
=
m
2
-4
k
2
1+4
k
2
.(8分)
∴
OM
•
ON
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=
5
m
2
-4
k
2
-4
1+4
k
2
.
又
m
2
=
4
5
(1+
k
2
)
,∴
OM
•
ON
=0.(10分)
当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=±
2
5
5
,代入椭圆方程得
M(
2
5
5
,
2
5
5
),N(
2
5
5
,-
2
5
5
)或M(-
2
5
5
,
2
5
5
),N(-
2
5
5
,-
2
5
5
),
此时,
OM
•
ON
=
4
5
-
4
5
=0.
综上所述,
OM
•
ON
为定值0.(12分)
举一反三
如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB=90°,AC=2)沿x轴滚动,设顶点A(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(x)在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为______.
题型:武进区模拟
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹.
(1)与⊙C:(x+2)
2
+y
2
=2内切,且过点A(2,0);
(2)与⊙C
1
:x
2
+(y-1)
2
=1和⊙C
2
:x
2
+(y+1)
2
=4都外切;
(3)与⊙C
1
:(x+3)
2
+y
2
=9外切,且与⊙C
2
:(x-3)
2
+y
2
=1内切.
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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