某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有位学生,每次活动均需该系位学生参加(和都是固定的正整数).假
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某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有位学生,每次活动均需该系位学生参加(和都是固定的正整数).假
题型:不详
难度:
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某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有
位学生,每次活动均需该系
位学生参加(
和
都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系
位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为
(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;
(Ⅱ)求使
取得最大值的整数
.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
本题是概率压轴题,难度大,文字多,考生不一定能够有时间去读懂,不仅如此还考查到了分类讨论思想,难度更高一层,但细细想来,它也就那回事.第(1)题该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息要从反面角度去思考,没有收到信息的概率是什么,由于A和B是相互独立,
,没有收到信息的概率正好是
,所以最后的结果就能求出;第(2)题考查的考点比较多,而且
和
都是变量,遇到变量就要做好讨论的准备,于是本题要从
和
两个角度考虑.当
时,
,
;当
时,整数
满足
,其中
是
和
中的较小者,从而表示出
,接着要根据题意找出不等关系:
,化简分离出
,而
是否为整数,需要讨论,还需要考虑
是否成立的问题,于是,接下来一方面需要讨论是否为整,另一方面要证明
,详细的解答如下.
设事件A:“学生甲收到李老师所发信息”,事件B:“学生甲收到张老师所发信息”,由题意A和B是相互独立的事件,则
与
相互独立,
而
所以
因此,学生甲收到活动通知信息的概率为
.
当
时,
只能取
,有
当
,整数
满足
,其中
是
和
中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给
位同学”所包含的基本事件总数为
.
当
时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为
,仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为
,则由乘法计数原理知:事件
所含基本事件数为
此时
当
,
化简解得
假如
成立,
则当
能被
整除时,
,故
在
和
处达到最大值;
则当
不能被
整除时,
在
处达最大值.(注:
表示不超过
的最大整数).
下证:
因为
,所以
,
,故
,显然
.
因此
.
【考点定位】考查古典概型,计数原理,分类讨论思想等基础知识.,以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
举一反三
某单位实行休年假制度三年来,
名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示:
休假次数
人数
根据上表信息解答以下问题:
⑴从该单位任选两名职工,用
表示这两人休年假次数之和,记“函数
,在区间
,
上有且只有一个零点”为事件
,求事件
发生的概率
;
⑵从该单位任选两名职工,用
表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量
的分布列及数学期望
.
题型:不详
难度:
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甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为
,各局比赛的结束相互独立,第1局甲当裁判.
(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;
(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.
题型:不详
难度:
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盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意抽取两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是
(结果用最简分数表示)
题型:不详
难度:
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通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表:
性别与看营养说明列联表 单位: 名
男
女
总计
看营养说明
50
30
80
不看营养说明
10
20
30
总计
60
50
110
(1)从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样,抽取一个容量为10的样本,问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名?
(2)根据以上列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系?
下面的临界值表供参考:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式:
,其中
)
题型:不详
难度:
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在图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,箱中所示数值表示通
电时保险丝被切断的概率,当开关合上时,电路畅通的概率是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
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