某射手向一个气球射击，假定各次射击是相互独立的，且每次射击击破气球的概率均为14．（I）若该射手共射击三次，求第三次射击才将球击破的概率；（II）给出两种积分方

题型：昆明模拟难度：来源：

某射手向一个气球射击，假定各次射击是相互独立的，且每次射击击破气球的概率均为

1

4

．
（I）若该射手共射击三次，求第三次射击才将球击破的概率；
（II）给出两种积分方案：
方案甲：提供三次射击机会和一张700点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分128ξ点．
方案乙：提供四次射击机会和一张1000点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分256ξ点．
在执行上述两种方案时规定：若将球击破，则射击停止；若未击破，则继续射击直至用完规定的射击次数．
问：该射手应选择哪种方案才能使积分卡剩余点数最多，并说明理由．

答案

（I）设A_i表示第i次将球击破，
则P=P（

.

A1

•

.

A2

•A3）=

3

4

×

3

4

×

1

4

=

9

64

．（5分）
（II）对于方案甲，积分卡剩余点数η_甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3，
由已知可得P（ξ=0）=

1

4

，
P（ξ=1）=

3

4

×

1

4

=

3

16

，
P（ξ=2）=（

3

4

）²×

1

4

=

9

64

，
P（ξ=3）=（

3

4

）³=

27

64

．
故Eξ=0×

1

4

+1×

3

16

+2×

9

64

+3×

27

64

=

111

64

．
故Eη_甲=E（700-128ξ）=700-128Eξ=478．（8分）
对于方案乙，积分卡剩余点数η_乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4，
由已知可得P（ξ=0）=

1

4

，
P（ξ=1）=

3

4

×

1

4

=

3

16

，
P（ξ=2）=（

3

4

）²×

1

4

=

9

64

，
P（ξ=3）=（

3

4

）³×

1

4

=

27

256

，
P（ξ=4）=（

3

4

）⁴=

81

256

∴Eξ=0×

1

4

+1×

3

16

+2×

9

64

+3

27

256

+4×

81

256

=

525

256

．
故Eη_乙=E=1000-Eξ=475．（11分）
故Eη_甲＞Eη_乙，
所以选择方案甲积分卡剩余点数最多．（12分）