将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以Pn表示未出现连续3次正面的概率。(1)求P1、P2、P3和P4; (2)探究数列{Pn}的递推公式,并给出证明; (3)讨论数
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将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以Pn表示未出现连续3次正面的概率。 (1)求P1、P2、P3和P4; (2)探究数列{Pn}的递推公式,并给出证明; (3)讨论数列{Pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义。 |
答案
解:(1)显然P1=P2=1, 又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有:正正正正或正正正反或反正正正,故 。 (2)共分三种情况:①如果第n次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n-1次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是; ②如果第n次出现正面,第n-1次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n-2次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是; ③如果第n次出现正面,第n-1次出现正面,第n-2次出现反面。那么前n次不出现连续三次正面和前n-3次不出现连续三次正面是相同的,所以这时候不出现三次连续正面的概率是 综上, P1=P2=1, ① 从而 ② ,有。 (3)由(2)知,n≥4时,{Pn}单调递减,又P1=P2>P3>P4, ∴n≥2时,数列{Pn}单调递减,且有下界0 ∴Pn的极限存在记为a 对两边同时取极限可得 a=0,故。 其统计意义:当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正面向上的概率非常小。 |
举一反三
某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.20,0.30,0.10,则此射手在一次射击中不够8环的概率为( ) |
A.0.40 B.0.30 C.0.60 D.0.90 |
中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为( )。 |
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人,现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别p1,p2,p3,假设p1, p2,p3互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立。 (1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化? (2)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3,其中q1,q2,q3是p1,p2,p3的一个排列,求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX; (3)假定1>p1>p2>p3,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小。 |
甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )。 |
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