本题考查相互独立重复事件的概率计算,离散变量的分步列、期望的计算,解题时要明确事件之间的关系并准确计算. (Ⅰ)因为假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为 , , ,且各人回答正确与否相互之间没有影响,结合独立事件概率的乘法公式得到结论。 (Ⅱ)由题意,ξ可取的值为0、1、2、3,由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算P(ξ=0)、P(ξ=1)、P(ξ=3)、P(ξ=4),进而可得ξ的分步列,进而由期望公式,计算可得答案. 解 (1)方法一 由题意知, 的可能取值为0,1,2,3,且 P( =0)= ,P( =1)= , P( =2)= ,P( =3)= . 所以 的分布列为
的数学期望为E =0× +1× +2× +3× =2. 方法二 根据题设可知, ~B , 故P( =1)=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191027/20191027021101-97126.png) 因为 ~B ,所以E =3× =2.--------------------6分 (2)方法一 用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件,用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C、D互斥, P(C)= P(D)=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191027/20191027021102-88277.png) 由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)= . 方法二 用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“乙队得k分”这一事件,k=0,1,2,3.由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故有P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).由题设可知,事件A3与B0独立,事件A2与B1独立,因此 P(AB)=P(A3B0)+P(A2B1)=P(A3)P(B0)+P(A2)P(B1) = ---------------------12分 |