已知函数f(x)=2cosx•sin(x+π3)+sinx•(cosx-3sinx)(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)在△ABC中,a,b,
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已知函数f(x)=2cosx•sin(x+π3)+sinx•(cosx-3sinx)(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)在△ABC中,a,b,
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=2cosx•sin(x+
π
3
)+sinx•(cosx-
3
sinx)
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,若
f(C)=1,c=
2
,求△ABC面积的最大值.
答案
(1)根据题意,可得
f(x)=2cosx•sin(x+
π
3
)+sinx•(cosx-
3
sinx)
=
2cosx(
1
2
sinx+
3
2
cosx)+sinx•cosx-
3
si
n
2
x
=
sin2x+
3
cos2x
=
2sin(2x+
π
3
)
∴函数f(x)的最小正周期为
T=
2π
2
=π
令
2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
,解得
kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
(k∈Z)
即单调递减区间为
[kπ+
π
12
,kπ+
7π
12
](k∈Z)
;(6分)
(2)由
f(C)=2sin(2C+
π
3
)=1
,解得
sin(2C+
π
3
)=
1
2
∵C是△ABC的内角,∴
2C+
π
3
=
5π
6
,得
C=
π
4
由余弦定理,得
2=
a
2
+
b
2
-2ab•
2
2
≥2ab-
2
ab
∴
ab≤
2
2-
2
=2+
2
(当且仅当
a=b=
2+
2
时取等号)
因此,△ABC面积的最大值为
S=
1
2
ab•sinC=
1
2
×(2+
2
)×
2
2
=
2
+1
2
.(12分)
举一反三
若在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若b
2
+c
2
-a
2
=bc,则A=______.
题型:不详
难度:
|
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等腰三角形腰长是底边长的2倍,则顶角的余弦值是( )
A.
7
8
B.
2
2
3
C.
8
9
D.
7
9
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c=2acosB,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
si
n
2
A+si
n
2
C-si
n
2
B=
3
sinAsinC
,则角B为( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
2
3
π
D.
5
6
π
题型:不详
难度:
|
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设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
b=
2
asinB
.
(1)求A的大小;
(2)若
b=
6
,
c=
3
+1
,求a.
题型:不详
难度:
|
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