解:(1)四边形BCDE是菱形.理由如下:
∵△BCD沿对角线BD折叠后,
点C刚好落在AB边上的点E处,
∴△BCD与△BED重合,
∴DC=DE,BC=BE,∠CBD=∠EBD,
又∵AB∥CD,
∴∠CDB=∠EBD,
∴∠CBD=∠CDB,
∴DC=BC,
∴DC=DE=BC=BE,
∴四边形BCDE是菱形;
(2)过点D作DF⊥AB于F,
∵四边形ABCD是等腰梯形,AD=BC,AB∥CD,
∴∠A=∠ABC=60°,∠A+∠ADC=180°,
∴∠ADC=120°,
又∵四边形BCDE是菱形,
∴∠EDC=∠ABC=60°,DC=DE=BC=BE=2,
∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDC=120°﹣60°=60°,
∴∠A=∠ADC=60°,
∴DE=AE=AD=2,即△ADE是等边三角形,
又∵DF⊥AB AE=2,
∴AF=1,
在Rt△ADF中,DF=,
又∵DC=2,AB=4,
∴S梯形ABCD=(DC+AB)×DF=(2+4)×=3.
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