设函数f(x)=ax+xx-1(x>1),若a是从-1,0,1,2四数中任取一个,b是从1,2,3,4,5五数中任取一个,那么f(x)>b恒成立的概率为(  )

设函数f(x)=ax+xx-1(x>1),若a是从-1,0,1,2四数中任取一个,b是从1,2,3,4,5五数中任取一个,那么f(x)>b恒成立的概率为(  )

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=ax+
x
x-1
(x>1),若a是从-1,0,1,2四数中任取一个,b是从1,2,3,4,5五数中任取一个,那么f(x)>b恒成立的概率为(  )
A.
1
2
B.
7
20
C.
2
5
D.
9
20
答案
当a=-1时,函数f(x)=ax+
x
x-1
=-x+
1
x-1
=-x+
x-1+1
x-1
=1-x+
1
x-1
,由于函数f(x)的导数f′(x)=-1-
1
(x-1)2
<0,
故函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,f(2)=0,故当x>2时,f(x)<0.
而b是从1,2,3,4,5五数中任取一个,显然不满足当x>1时,f(x)>b恒成立.
∵函数f(x)=ax+
x
x-1
(x>1),当a>0时,
∴f(x)=ax+
x-1+1
x-1
=ax+1+
1
x-1
=a(x-1)+
1
x-1
+a+1≥2


a
+a+1=(


a
+1)
2

当且仅当a(x-1)+
1
x-1
时,等号成立,故f(x)min=(


a
+1)
2

于是f(x)>b恒成立就转化为(


a
+1)
2
>b,
当a=0时,函数f(x)=1+
1
x-1
>1,由f(x)>b恒成立可得,只有b=1.
设事件A:“f(x)>b恒成立”,则基本事件总数(a,b)为20个:
(-1,1)、(-1,2)、(-1,3)、(-1,4)、(-1,5)、
(0,1),(0,2),(0,3),(0,4);(0,5),(1,1),(1,2),(1,3),
(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5).
事件A包含事件:(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(2,5),共9个.
故f(x)>b恒成立的概率为
9
20

故选D.
举一反三
甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为:3局2胜,即以先赢2局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
某学校有两个食堂,甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为______.
题型:不详难度:| 查看答案
从装有3个红球,3个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则P(ξ≥1)=______.
题型:不详难度:| 查看答案
3位男生,3位女生排成一排,恰好三位女生排在相邻位置的概率是(  )
A.
1
5
B.
1
20
C.
1
120
D.
1
30
题型:不详难度:| 查看答案
在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到一瓶已过保质期的概率为______.(结果用最简分数表示)
题型:湖北难度:| 查看答案
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