一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；（Ⅱ）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有

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一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；
（Ⅱ）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？

答案

⑴，，当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大

解析

（Ⅰ）一次摸奖从个球中任选两个，有种，
它们等可能，其中两球不同色有种，………………………2分
一次摸奖中奖的概率．………………………4分
（Ⅱ）若，一次摸奖中奖的概率,………………………6分
三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是
．  ………………………8分
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为
，， ……………………12分
，知在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．又,解得．…………14分
答：当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．
【方法探究】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用代替，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将看成一个整体，再求最值．