已知命题P:函数f(x)=xx2+1在区间(a,2a+1)上是单调递增函数;命题Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若P∨Q是真
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已知命题P:函数f(x)=xx2+1在区间(a,2a+1)上是单调递增函数;命题Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若P∨Q是真
题型:不详
难度:
来源:
已知命题P:函数
f(x)=
x
x
2
+1
在区间(a,2a+1)上是单调递增函数;命题Q:不等式(a-2)x
2
+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若P∨Q是真命题,求实数a的取值范围.
答案
若P是真,求导函数f′(x)=
1-
x
2
(
x
2
+1)
2
,令f′(x)>0可得-1<x<1
∵函数
f(x)=
x
x
2
+1
在区间(a,2a+1)上是单调递增函数
∴
a≥-1
2a+1≤1
a<2a+1
,∴-1<a≤0
若Q是真,可得a=2或
a-2<0
△<0
得:-2<a≤2,
∵P∨Q是真命题,∴P真Q假或P假Q真或P真Q真
若P真Q假,则
-1<a≤0
a≤-2或a>2
,∴a∈∅;
若P假Q真,则
a≤-1或a>0
-2<a≤2
,∴-2<a≤-1或0<a≤2
若P真Q真,则
-1<a≤0
-2<a≤2
,∴-1<a≤0
∴由P∨Q是真命题可得a∈(-2,2].
举一反三
设命题p:“方程x
2
+mx+1=0有两个实数根”,命题q:“方程4x
2
+4(m-2)x+1=0无实根”,若p∧q为假,¬q为假,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
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设命题P:关于x的方程x
2
2ax-2a=0无实根,命题q:关于x的不等式x
2
+ax+4>0的解集为R.如果命题“p∧q”为假命题,“¬q”为假命题,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知a>0,设p:函数y=a
x
在R上单调递减;命题q:方程
x
2
a-2
+
y
2
a-0.5
=1
表示的曲线是双曲线,如果“p或q”为真,“p且q”为假,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
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题型:不详
难度:
|
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