设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任
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设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任
题型:不详
难度:
来源:
设函数f(x)=ax+
1
x+b
(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x三角形的面积为定值,并求出此定值.
答案
(1)f′(x)=a-
1
(x+b
)
2
,
于是
2a+
1
2+b
=3
a-
1
(a+b
)
2
=0
解得
a=1
b=-1
或
a=
9
4
b=-
8
3
因a,b∈Z,故f(x)=x+
1
x-1
.
(2)证明:在曲线上任取一点(x
0
,x
0
+
1
x
0
-1
).
由f′(x
0
)=1-
1
(
x
0
-1
)
2
知,过此点的切线方程为y-
x
20
-
x
0
+1
x
0
-1
=[1-
1
(
x
0
-1)
2
](x-x
0
).
令x=1得y=
x
0
+1
x
0
-1
,切线与直线x=1交点为(1,
x
0
+1
x
0
-1
).
令y=x得y=2x
0
-1,切线与直线y=x交点为(2x
0
-1,2x
0
-1).
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
从而所围三角形的面积为
1
2
|
x
0
+1
x
0
-1
-1|•|2x
0
-1-1|=
1
2
|
2
x
0
-1
||2x
0
-2|=2.
所以,所围三角形的面积为定值2.
举一反三
设点A(x
1
,f(x
1
)),B(x
2
,f(x
2
)),T(x
0
,f(x
0
))在函数f(x)=x
3
-ax(a>0)的图象上,其中x
1
,x
2
是f(x)的两个极值点,x
0
(x
0
≠0)是f(x)的一个零点,若函数f(x)的图象在T处的切线与直线AB垂直,则a=______.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=x
3
+ax
2
-12x的导函数为f′(x),若f′(x)的图象关于y轴对称.
(I)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
题型:不详
难度:
|
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若曲线y=e
x
在x=1处的切线与直线2x+my+1=0垂直,则m=( )
A.-2e
B.2e
C.-
2
e
D.
2
e
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0)其中,f(0)=3,f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若c=-6,函数f(x)的两个极值点为x
1
,x
2
满足-1<x
1
<1<x
2
<2.设λ=a
2
+b
2
-6a+2b+10,试求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)的导函数图象如图所示,则函数f(x)的极小值点个数有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
题型:不详
难度:
|
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