设函数f（x）=x3+ax2-12x的导函数为f′（x），若f′（x）的图象关于y轴对称．（I）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
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设函数f（x）=x3+ax2-12x的导函数为f′（x），若f′（x）的图象关于y轴对称．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值． |
答案
（I）f′（x）=3x2+2ax-12，∵f′（x）的图象关于y轴对称，∴a=0．
∴f（x）=x3-12x．
（II）由（I）可得f′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x=±2．列表如下：| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，2） | 2 | （2，+∞） | | f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | | f（x） | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
举一反三
| 若曲线y=ex在x=1处的切线与直线2x+my+1=0垂直，则m=（ ） | 设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R，a＞0）其中，f（0）=3，f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）若f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c=-6，函数f（x）的两个极值点为x1，x2满足-1＜x1＜1＜x2＜2．设λ=a2+b2-6a+2b+10，试求实数λ的取值范围． | 函数f（x）的导函数图象如图所示，则函数f（x）的极小值点个数有（ ）
 | 已知函数f(x)=，x∈[0，2]．
（1）求f（x）的值域；
（2）设a≠0，函数g(x)=ax3-a2x，x∈[0，2]．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使f（x1）-g（x2）=0．求实数a的取值范围． | 已知函数f（x）=ax2-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． |
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