设f(x)是定于在(0,1)上的函数,且满足:①对任意x∈(0,1),恒有f(x)>0;②对任意x1,x2∈(0,1),恒有f(x1)f(x2)+f(1-x1)

设f(x)是定于在(0,1)上的函数,且满足:①对任意x∈(0,1),恒有f(x)>0;②对任意x1,x2∈(0,1),恒有f(x1)f(x2)+f(1-x1)

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设f(x)是定于在(0,1)上的函数,且满足:①对任意x∈(0,1),恒有f(x)>0;②对任意x1,x2∈(0,1),恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2,则关于函数f(x)有:
(1)对任意x∈(0,1),都有f(x)>f(1-x);
(2)对任意x∈(0,1),都有f(x)=f(1-x);
(3)对任意x∈(0,1),恒有f′(x)=0;
(4)当x∈(0,1),函数y=
f(x)
x
+x为减函数.
上述四个命题中正确的有______.
答案
因为对任意x∈(0,1),恒有f(x)>0,
所以令x1=x,x2=1-x,则
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≥2


f(x)
f(1-x)
f(1-x)
f(x)
=2

由②知
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≤2
,所以必有
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
=2
,当且仅当
f(x)
f(1-x)
=
f(1-x)
f(x)
=1
,即f(x)=f(1-x)时取等号,所以(1)错误,(2)正确.
(3)将②中的变量x1,x2,交换位置得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2
,③,将②③相加得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤4

因为
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
≥2


f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
=2
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥2


f(1-x2)
f(1-x1)
f(1-x1)
f(1-x2)
=2

所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥4
,所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
=4

当且仅当,
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1,
f(1-x2)
f(1-x1)
=
f(1-x1)
f(1-x2)
=1
,取等号,所以f(x1)=f(x2),即对任意的变量x1,x2,都有所以f(x1)=f(x2),
所以f(x)为常数,所以f"(x)=0,所以(3)成立.
(4)因为f(x)为常数,所以设f(x)=c>0,
所以y=
f(x)
x
+x=
c
x
+x
,函数的导数为y"=1-
c
x2
,当x>0时,由y"<0得,0<x<


c
,所以函数在(0,


c
)上单调递减,所以当c<1时,函数y=
f(x)
x
+x为减函数不一定正确.
故正确的是(2)(3).
举一反三
以下四个判断,正确的是(  )
A.“5是10的约数且是8的约数”是真命题
B.命题“2≥2”是真命题
C.“若a,b是实数,则a>b>0是a2>b2”的充分必要条件
D.命题p:“三边对应相等的两个三角形全等”,那么p的逆否命题是假命题
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下列命题中正确的是(  )
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥
③侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥
④侧棱都相等且底面是各边相等的圆内接多边形,这个棱锥是正棱锥.
A.④B.③④C.②③D.①③④
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下列命题正确的是(  )
A.过平面外的一条直线只能作一平面与此平面垂直
B.平面α⊥平面β于l,A∈α,PA⊥l,则PA⊥β
C.一直线与平面α的一条斜线垂直,则必与斜线的射影垂直
D.a、b、c是两两互相垂直的异面直线,d为b、c的公垂线,则ad
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从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,若这些斜线与平面成等角,则如下四个命题中:
①三斜足构成正三角形;
②垂足是斜足三角形的内心;
③垂足是斜足三角形的外心;
④垂足是斜足三角形的垂心.
其中正确命题的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4
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(1)16的四次方根是±2;
(2)集合A={x|y=


x
},B={y|y=2x2-1,x∈R}则A∩B=B;
(3)若|log3a|=|log3b|,且a≠b,a>0,b>0则ab=1;
(4)若函数f(x+1)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称;
其中正确的序号是______$end{array}$.
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