给出下列命题：①如果向量a，b，c共面，向量b，c，d也共面，则向量a，b，c，d共面；②已知直线a的方向向量a与平面α，若a∥平面α，则直线a∥平面α；③若P

题型：不详难度：来源：

给出下列命题：
①如果向量

a

，

b

，

c

共面，向量

b

，

c

，

d

也共面，则向量

a

，

b

，

c

，

d

共面；
②已知直线a的方向向量

a

与平面α，若

a

∥平面α，则直线a∥平面α；
③若P、M、A、B共面，则存在唯一实数x、y使

MP

=x

MA

+y

MB

；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x+y+z=1），则P、A、B、C四点共面； 在这四个命题中为真命题的序号有______．

答案

①不妨令

b

与

c

共线，

a

与

b

不共线，

a

与

d

不共线，满足向量

a

，

b

，

c

共面，向量

b

，

c

，

d

也共面，但向量

a

，

b

，

c

，

d

不一定共面，故①不正确；
    ②若

a

∥平面α，则直线a∥平面α或a⊂α，故②不正确；
    ③不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y使

MP

=x

MA

+y

MB

，故③不正确；
　　④∵三点A、B、C不共线，

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，x+y+z=1，
∴

OP

=x

OA

+y

OB

+（1-x-y）

OC

=x(

OA

-

OC

)  +y(

OB

-

OC

)  +

OC

=

xCA

+

yCB

+

OC

，∴

OP

-

OC

=x

CA

+y

CB

      即

CP

=x

CA

+y

CB

，由共面向量基本定理知，P、A、B、C四点共面，故④正确．
   故答案为：④