已知命题P：函数y=logax+2x-1在（1，+∞）内单调递增；命题Q：不等式（a-3）x2+（2a-6）x-5＜0对任意实数x恒成立，若P∨Q是真命题，P∧

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已知命题P：函数y=loga

x+2

x-1

在（1，+∞）内单调递增；命题Q：不等式（a-3）x²+（2a-6）x-5＜0对任意实数x恒成立，
若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题，求实数a的取值范围．

答案

解∵命题P为真命题，即
函数y=loga

x+2

x-1

在定义域上单调递增；
∴0＜a＜（5分）
若命题Q为真命题，
不等式（a-3）x²+（2a-6）x-5＜0对任意实数x恒成立；
当a-3=0时，不等式为-5＜0满足题意，
当a≠0时，令a-3＜0且△=（2a-6）²+20（a-3）＜0
解得-2＜a≤3（10分）
∵P∨Q是真命题且P∧Q是假命题，
∴P，Q有一个真命题一个假命题，
当p真Q假时，有

0＜a＜1

a≤-2或a＞3

无解
当Q真P假时，有

a≤0或a≥1

-2＜a≤3

解得-2＜a≤0或1≤a≤3．
∴a的取值范围是-2＜a≤0或1≤a≤3．（14分）

举一反三

给出下列命题：
（i）N中最小的元素是1；
（ii）若a∈N，则-a∉N；
（iii）若a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2
其中所有正确命题的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

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已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（　　）

A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n

B．若m∥n，α∩β=n，且m

∉

α则m∥α

C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β

D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

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有下列四种说法：
①“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
②“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件；
③命题“∃x₀∈R使得x²-x＞0”的否定是“∀x∈R都有x²-x≤0”；
④若实数x，y∈[0，1]，则满足：x²+y²＜1的概率为

．
其中正确命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

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下列命题中：
①若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件．
②若p为：∃×∈R，x²+2x≤0，则¬p为：∀×∈R，x²+2x＞0．
③命题“∀x，x²-2x+3＞0”的否命题是“∃x，x²-2x+3＜0”．
④命题“若¬p，则q”的逆否命题是“若p，则¬q”．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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给出下列说法：
①命题“若α=

，则sin α=

”的否命题是假命题；
②命题p：“∃x₀∈R，使sin x＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；
③“φ=

+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；
④命题p：“∃x∈（0，

），使sin x+cos x=

”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．
其中正确结论的个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

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