设a=(cosx-sinx,2sinx),b=(cosx+sinx,cosx),f(x)=a•b,给出下列四个命题:①函数在区间[π8,5π8]上是减函数;②把

设a=(cosx-sinx,2sinx),b=(cosx+sinx,cosx),f(x)=a•b,给出下列四个命题:①函数在区间[π8,5π8]上是减函数;②把

题型:不详难度:来源:


a
=(cosx-sinx,2sinx),


b
=(cosx+sinx,cosx),f(x)=


a


b
,给出下列四个命题:
①函数在区间[
π
8
8
]
上是减函数;
②把f(x)图象按向量


v
=(-
π
8
,0)
平移后得到函数g(x)的图象,则g(x)是偶函数;
③存在x∈(0,
π
4
)
使f(x)=
2
3

④函数y=|f(x)|的最小正周期是π;其中正确命题的序号是______.
答案


a
=(cosx-sinx,2sinx),


b
=(cosx+sinx,cosx)

f(x)=


a


b
=(cosx-sinx)(cosx+sinx)+2sinxcosx=cos2x+sin2x=


2
sin(2x+
π
4

①∵令2x+
π
4
∈[
π
2
+2kπ,
2
+2kπ](k∈Z),可得x∈[
π
8
+kπ,
8
+2kπ](k∈Z)
∴取k=0,得区间[
π
8
8
]
是函数f(x)的一个减区间,故①正确;
②把f(x)图象按向量


v
=(-
π
8
,0)
平移后,得到y=f(x+
π
8
)=


2
sin[2(x+
π
8
)+
π
4
]=


2
sin(2x+
π
2
),
即y=


2
cos2x的图象,所以平移后的图象为偶函数,故②正确;
③当x∈(0,
π
4
)
时,2x+
π
4
∈(
π
4
π
2
),可得sin(2x+
π
4
)∈(


2
2
,1)
∴f(x)=


2
sin(2x+
π
4
)∈(1,


2
).故不存在x∈(0,
π
4
)
使f(x)=
2
3
,从而③不正确;
④∵f(x)=


2
sin(2x+
π
4
)的周期为T=
2
=π,
∴y=|f(x)|的周期为
1
2
×π=
π
2
,因此④不正确
综上所述,可得正确的命题只有①②
故答案为:①②
举一反三
设点A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0).直线AM,BM相交于点M,且他们的斜率之积为k.则下列说法正确的是______
(1)当k=
b2
a2
时,点M的轨迹是双曲线.(其中a,b∈R+
(2)当k=-
b2
a2
时,点M的轨迹是部分椭圆.(其中a,b∈R+
(3)在(1)条件下,点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点F1(-


a2+b2
,0)
,F2


a2+b2
,0),且|PF1|=
1
4
|PF2|,则(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,
5
3
]
(4)在(2)的条件下,过点F1(-


a2-b2
,0),F2


a2-b2
,0).满足
.
MF1
.
MF2
=0的点M总在曲线的内部,则(2)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是(


2
2
,1)
题型:不详难度:| 查看答案
给出下列几个命题:
①若函数f(x)的定义域为R,则g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函数;
②若函数f(x)是定义域为R的奇函数,对于任意的x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
③已知x1,x2是函数f(x)定义域内的两个值,当x1<x2时,f(x1)>f(x2),则f(x)是减函数;
④设函数y=


1-x
+


x+3
的最大值和最小值分别为M和m,则M=


2
m

⑤若f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的周期函数.
其中正确的命题序号是______.(写出所有正确命题的序号)
题型:不详难度:| 查看答案
命题p:|m-2i|>|-2+i|(i是虚数单位);
命题q:“函数f(x)=
2
3
x3-mx2+(2m-
3
2
)x在(-∞,+∞)上单调递增”.若p∧q是假命题,p∨q是真命题,求m的范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知命题p:不等式(x-1)2>m-1的解集为R,命题q:f(x)=(5-2m)x是R上的增函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
设p:函数f(x)=x2-2cx+c2+1在区间(0,1)上的最小值为1,q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R,如果命题P或q中一个为真命题另一个为假命题,试求c的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
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