给出下列四个命题:①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”.②“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”.③“直线a⊥b”的充
题型:温州模拟难度:来源:
给出下列四个命题: ①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”.②“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”.③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”.④设α⊥β,a⊄β,则“a∥β”的充分非必要条件是“a⊥α”.其中正确命题的序号是( ) |
答案
对于①,若“直线a、b为异面直线”必定有“直线a、b不相交”, 反过来,若“直线a、b不相交”则“直线a、b为异面直线或平行直线”, 因此应该是必要非充分条件,故①不正确; 对应②,线面垂直的定义:如果一条直线垂直于一个平面内的所有直线, 就称这条直线与这个平面垂直. 根据这个定义可得“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”,故②正确; 对于③,若“a垂直于b在平面α内的射影”不一定推出“直线a⊥b”,因为a不一定在平面α内, 反之,若“直线a⊥b,且a在平面α内”则必有“a垂直于b在平面α内的射影”,但a仍然不一定在平面α内, 说明是既不充分也不必要条件,故③不正确; 对于④,若“a⊥α”结合大前提“β⊥α”,说明“a∥β或a⊆β”成立, 而题意中有“a⊄β”,说明只有“a∥β”,由此得充分性成立. 反之,若“α⊥β,a⊄β”且“a∥β”有可能a平行于α、β的交线,不能得到“a⊥α”,没有必要性 说明“a∥β”的充分非必要条件是“a⊥α”成立,故④正确. 故选C |
举一反三
下列命题中,真命题是( )A.∃x∈R,sinx+cosx=1.5 | B.∀x∈(0,+∞),ex>x+1 | C.∃x∈R,x2+x=-1 | D.∀x∈(0,π),sinx>cosx |
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若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α | B.若m⊂β,m∥α,则α∥β | C.若m⊥β,m∥α,则α⊥β | D.若α⊥γ,α⊥β,则β∥γ |
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有下列命题: ①命题“∃x∈R,使得x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,都有x2+1≤3x”; ②设p、q为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“¬p∧¬q为真命题”; ③若p(x)=ax2+2x+1>0,则“∀x∈R,p(x)是真命题”的充要条件为 a>1; ④若函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0,f(x)=3x+3x+a,则f(-2)=-14; ⑤不等式≥2的解集是[-,3]. 其中所有正确的说法序号是______. |
下列命题为真命题的是( )A.∀x∈N,x3>x2 | B.∃x0∈R,x02+2x0+2≤0 | C.“x>3”是“x2>9”的必要条件 | D.函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条件是b=0 |
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设l,m为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的是______.(填序号) ①若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m; ②若l∥m,m⊥α,l⊥β,则α∥β; ③若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m; ④若α⊥β,α∩β=m,l⊂β,l⊥m,则l⊥α. |
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