函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1、x2（x1≠x2），有f(x1)-f(x2)x1-x2=f′(x1+x22)恒成立，则称f（x）为恒均

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函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x₁、x₂（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)恒成立，则称f（x）为恒均变函数．给出下列函数：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x²-2x+3；
③f（x）=

1

x

；
④f（x）=e^x；
⑤f（x）=lnx．
其中为恒均变函数的序号是______．（写出所有满足条件的函数的序号）

答案

对于①f（x）=2x+3，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

2x1-2x2

x1-x2

=2，f′(

x1+x2

2

)=2，满足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，为恒均变函数．
对于②f（x）=x²-2x+3，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

(x12-2x1)-(x22-2x2)

x1-x2

=

(x1-x2)(x1+x2-2)

x1-x2

=x₁+x₂-2
f′(

x1+x2

2

)=2•

x1 +x2

2

-2=x₁+x₂-2，故满足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，为恒均变函数．
对于；③f(x)=

1

x

，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

1 x1 -  1 x2

x1-x2

=

-1

x1x2

，f′(

x1+x2

2

)=-

1

( x1 +x2 2 )2

=

4

(x1+x2)2

，
显然不满足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，故不是恒均变函数．
对于④f（x）=e^x ，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

ex1- ex2

x1-x2

，f′(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

，显然不满足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，故不是恒均变函数．
对于⑤f（x）=lnx，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

，f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

，
显然不满足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，故不是恒均变函数．
故答案为 ①②．