已知定义域为R的函数y=f(x),则下列命题:①若f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;②若f(x+1)+f(1-x)=
题型:不详难度:来源:
已知定义域为R的函数y=f(x),则下列命题: ①若f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称; ②若f(x+1)+f(1-x)=0恒成立,则函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称; ③函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称; ④若f(1+x)+f(x-1)=0恒成立.则函数y=f(x)以4为周期.其中真命题有______. |
答案
①若f(x-1)=f(1-x)恒成立,令t=x-1,则x=t+1,代入得f(t)=f(-t),此函数y=f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称不正确; ②若f(x+1)+f(1-x)=0恒成立,由于x+1+1-x=2,而函数值互为相反数,故函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,此命题正确; ③由于函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于直线Y轴对称,而两函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象可分别由函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象右移一个单位得到,故两函数的图象关于直线x=1对称,由此知两者图象关于y轴对称不正确; ④f(1+x)+f(x-1)=0恒成立,即f(x+1)=-f(x-1)=f(x-3),故函数的周期为T=4.则函数y=f(x)以4为周期正确. 综上知②④是正确命题 故答案为2 |
举一反三
给出下列命题: (1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,所有真命题的序号为______. |
写出命题“若a、b都是奇数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题及逆否命题,并判断它们的真假. |
下列说法中错误的是( )A.经过两条平行直线,有且只有一个平面 | B.平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点 | C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 | D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 |
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已知f(x)在x∈[a,b]上的最大值为M,最小值为m,给出下列五个命题: ①若对任何x∈[a,b]都有p≤f(x),则p的取值范围是(-∞,m]; ②若对任何x∈[a,b]都有p≤f(x),则p的取值范围是(-∞,M]; ③若关于x的方程p=f(x)在区间[a,b]上有解,则p的取值范围是[m,M]; ④若关于x的不等式p≤f(x)在区间[a,b]上有解,则p的取值范围是(-∞,m]; ⑤若关于x的不等式p≤f(x)在区间[a,b]上有解,则p的取值范围是(-∞,M]; 其中正确命题的个数为( ) |
下列结论不正确的是( )A.若f(x)=3,则f′(x)=0 | B.若f(x)=sinx+cosx,则f′(x)=cosx+sinx | C.若f(x)=3x+1,则f′(1)=3 | D.若f(x)=-+x,则f′(x)=-+1 |
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