把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：①该函

题型：不详难度：来源：

把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移

π

6

个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为y=2sin（2x+

π

6

）；  
②该函数图象关于点（

π

3

，0）对称；　
③该函数在[0，

π

6

]上是增函数；
④函数y=f（x）+a在[0，

π

2

]上的最小值为

3

，则a=2

3

．
其中，正确判断的序号是______．

答案

把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移

π

6

个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数y=f（x）=2sin2（x+

π

6

）=2sin（2x+

π

3

）的图象，
由于f（x）=2sin（2x+

π

3

），故①不正确．
令2x+

π

3

=kπ，k∈z，求得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，故函数的图象关于点（

kπ

2

-

π

6

，0）对称，故函数的图象关于点（

π

3

，0）对称，故②正确．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，故函数的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z，
故函数在[0，

π

6

]上不是增函数，故 ③不正确．
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，故当2x+

π

3

=

4π

3

时，f（x）取得最小值为-

3

，函数y=f（x）+a取得最小值为-

3

+a=

3

，
故a=-2

3

，故④正确．
故答案为 ②④．