已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），给出以下命题：①函数f（x）是周期为2的周期函数；②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数f（x）的图象
题型：不详难度：来源：
| 已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），给出以下命题：①函数f（x）是周期为2的周期函数；②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是（ ） |
答案
①因为奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-l），所以f（1+x）=-f（1-x）
所以f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x），故周期为2，故①正确；
③由奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-l），还可得f（1+x）=-f（1-x），
即函数的图象关于点（1，0）对称，又奇函数图象关于（0，0）对称，再由周期为2，
可得函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称，故③正确；
②由③可知图象关于点（1，0）对称，故直线x=1不可能是对称轴，故②错误；
④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，由周期为2可知，
f（x）在（4，5）上为增函数，不能推出在（3，5）上的增函数，故④错误．
故选A |
举一反三
| 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根；q：对任意实数x不等式4x2+4（m-2）x+1＞0恒成立，若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围.. |
已知函数f(x)=，则下列命题正确的是（ ）| A．对任意a＞，方程f（x）=a只有一个实根 | | B．对任意a＜，方程f（x）=a总有两个实根 | | C．对任意a＜，总存在正数x，使得f（x）＞a成立 | | D．对任意a＜和正数x，总有f（x）＞a成立 |
|
已知函数f（x）=（a≠1）给出下列命题：
（1）若a＞1，则f（x）的定义域是（-∞，]．
（2）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，则实数a的取值范围是（0，1）．
（3）f（x）没有极值．
则其中真命题是______． |
已知命题：
（1）函数f(x)=在（0，+∞）上是减函数；
（2）函数f（x）的定义域为R，f′（x0）=0是x=x0为极值点的既不充分也不必要条件；
（3）函数f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期为π；
（4）已知=(3，4)，=(0，-1)，则在方向上的投影为4．
其中，正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上） |
已知命题p：函数f（x）=x2+mx+1有两个不相同的零点且为负数；命题q：关于x的方程x2-2（m-2）x+m=0没有实数根．
（Ⅰ）求实数m的取值范围，使命题p为真命题；
（Ⅱ）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m值的集合． |
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