设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R恒有f(x+1)=-f(x),已知当x∈[0,1]时,f(x)=3x.则①2是f(x)的周期;②函数f(x

设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R恒有f(x+1)=-f(x),已知当x∈[0,1]时,f(x)=3x.则①2是f(x)的周期;②函数f(x

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设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R恒有f(x+1)=-f(x),已知当x∈[0,1]时,f(x)=3x.则
①2是f(x)的周期;
②函数f(x)在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值为1,最小值为0;
④直线x=2是函数f(x)图象的一条对称轴.
其中所有正确命题的序号是______.
答案
∵对于任意的x∈R恒有f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x),∴2是函数的周期,即①正确;
设x∈(2,3),则x-2∈(0,1),∵当x∈[0,1]时,f(x)=3x,函数单调递增,2是函数的周期,∴函数f(x)在(2,3)上是增函数,即②正确;
x∈[0,1]时,f(x)=3x,∴x∈[0,1]时,函数f(x)的最大值为3,最小值为1,结合①②可知,③不正确;
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,2是函数的周期,∴直线x=2是函数f(x)图象的一条对称轴,即④正确.
故答案为①②④.
举一反三
下列说法:
①当x>0且x≠1时,有lnx+
1
lnx
≥2;
②函数y=ax的图象可以由函数y=2ax(其中a>0且a≠1)平移得到;
③△ABC中,A>B是sinA>sinB成立的充要条件;
④已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7>S5,则S9>S3
⑤函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确的命题的序号为______.
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符号[x]表示不超过x的最大整数,如[2.5]=3,[-1.1]=-2,定义函数{x}=x-[x],给出下列四个命题:
①函数{x}的定义域是R,值域为[0,1];
②方程{x}=
1
2
有无数解;
③函数{x}是周期函数;
④函数{x}是增函数.
其中真命题的序号有(  )
A.②③B.①④C.③④D.②④
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已知函数f(x)与g(x)的定义域为R,有下列5个命题:
①若f(x-2)=f(2-x),则f(x)的图象自身关于直线y轴对称;
②y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称;
③函数y=f(x+2)与y=f(2-x)的图象关于y轴对称;
④f(x)为奇函数,且f(x)图象关于直线x=
1
2
对称,则f(x)周期为2;
⑤f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(x)周期为2.
其中正确命题的序号为______.
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已知函数y=
x
x-1
,则下列四个命题中错误的是(  )
A.该函数图象关于点(1,1)对称
B.该函数的图象关于直线y=2-x对称
C.该函数在定义域内单调递减
D.将该函数图象向左平移一个单位长度,再向下平移一个单位长度后与函数y=
1
x
的图象重合
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用[x]表示不超过x的最大整数,如[3.1]=3,[-3.4]=-4,[0]=0,设函数f(x)=[x]-x(x∈R),关于函数f(x)有如下四个命题:
①f(x)的值域为[0,1)
②f(x)是偶函数  
③f(x)是周期函数,最小正周期为1  
④f(x)是增函数.
其中正确命题的序号是:______.
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