已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.(Ⅰ)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);(Ⅱ)判断(Ⅰ)中命题的逆命题是否
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已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R. (Ⅰ)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); (Ⅱ)判断(Ⅰ)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论. |
答案
证明:(Ⅰ)因为a+b≥0,所以a≥-b. 由于函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, 所以f(a)≥f(-b). 同理,f(b)≥f(-a). 两式相加,得f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).…(6分) (Ⅱ)逆命题: 若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0. 用反证法证明 假设a+b<0,那么 | a+b<0⇒a<-b⇒f(a)<f(-b) | a+b<0⇒b<-a⇒f(b)<f(-a). |
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所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 这与f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾.故只有a+b≥0,逆命题得证. …(12分) |
举一反三
给出下列命题: ①函数y=sin(-2x)是偶函数; ②函数y=sin(x+)在闭区间[-,]上是增函数; ③直线x=是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴; ④若cosx=-,x∈(0,2π),则x=arcos(-)或π+arcos(-) 其中正确的命题的序号是:______. |
以下四个命题中: ①“若x2+y2≠0,则x,y全不为零”的否命题; ②若A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,有=++,则点M与点A、B、C共面; ③若双曲线-=1的两焦点为F1、F2,点P为双曲线上一点,且•=0,则△PF1F2的面积为16; ④曲线+=1与曲线+=1(0<k<9)有相同的焦点; 其中真命题的序号为______. |
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)当m>时,mx2-x+1=0无实根; (2)当abc=0时,a=0或b=0或c=0. |
将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假: (1)6是12和18的公约数; (2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根; (3)已知x、y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2. |
给出以下命题: ①若棱柱被一平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱; ②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱; ③有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台; ④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段; ⑤过圆锥顶点的截面中,截面面积最大的一定是轴截面. 其中正确命题的序号有______. |
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