对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数；    ②y=f（x）的图象关于（0，q）对称；    ③p=0，q＞0时，

题型：不详难度：来源：

对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：
①q=0时，f（x）为奇函数；    
②y=f（x）的图象关于（0，q）对称；    
③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根；    
④方程f（x）=0至多有两个实数根．其中正确命题的序号为（　　）

A．①②

B．①②③

C．②④

D．②③

答案

①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，
反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，
所以①正确．
②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，
把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q
图象，易得f（x）的图象关于点（0，q）对称．
所以②正确．
③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，
x＜0时，（x）=0的解为x=±

p

，故③不正确．
④q=0，p=1时方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=-1，
即方程f（x）=0有3个实数根，
故④不正确．
故选A．