对集合A,如果存在x0使得对任意正数a,都存在x∈A,使0<|x-x0|<a,则称x0为集合A的“聚点”,给出下列四个集合:①{nn+1|n∈Z,n≥0};②{

对集合A,如果存在x0使得对任意正数a,都存在x∈A,使0<|x-x0|<a,则称x0为集合A的“聚点”,给出下列四个集合:①{nn+1|n∈Z,n≥0};②{

题型:不详难度:来源:
对集合A,如果存在x0使得对任意正数a,都存在x∈A,使0<|x-x0|<a,则称x0为集合A的“聚点”,给出下列四个集合:
{
n
n+1
|n∈Z,n≥0}

②{x∈R|x≠0};
{
1
n
|n∈Z,n≠0}

④Z.
其中以0为“聚点”的集合是(  )
A.②③B.①②C.①③D.②④
答案
①令f(n)=
n
n+1
,则f(n+1)-f(n)=
n+1
n+2
-
n
n+1
=
1
(n+1)(n+2)
>0
,即f(n)=
n
n+1
当n∈N时单调递增,则1为其“聚点”,下面给出证明:
取x0=1,对任意正数a,要使0<|
n
n+1
-1|=|
1
n+1
|<a
成立,只要取正整数n=[
1
a
-1]+2
,故1是其“聚点”;
②由实数的稠密性可知:对任意正数a,都存在x=
a
2
∈{x∈R|x≠0},使0<|x-0|<a成立,故0是此集合的“聚点”;
③∵
1
n+1
=1-
n
n+1
,由(1)可知:0为集合{
1
n
|n∈Z,n≠0
},根据“聚点”的定义可知,0是其聚点;
④∀n∈Z,且n≠0,则|n|≥1,故取0<a<1,则不存在x∈Z,使0<|x-x0|<a成立,根据“聚点”的定义可知:所给集合不存在聚点.
综上可知:只有②③正确;
故选A.
举一反三
设函数f(x)=|x|x+bx+c,则下列命题中正确命题的序号有______
(1)函数f(x)在R上有最小值;
(2)当b>0时,函数在R上是单调增函数;
(3)函数f(x)的图象关于点(0,c)对称;
(4)当b<0时,方程f(x)=0有三个不同实数根的充要重要条件是b2>4|c|;
(5)方程f(x)=0可能有四个不同实数根.
题型:内江一模难度:| 查看答案
给出下列五个命题:
①已知直线a,b和平面α,若ab,bα,则aα;
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线;
③双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),则直线y=
b
a
x+m(m∈R)与双曲线有且只有一个公共点;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直;
⑤过M(2,0)的直线l与椭圆
x2
2
+y2=1交于P1P2两点,线段P1P2中点为P,设直线l斜率为k1(k≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2等于-
1
2

其中,正确命题的序号为______.
题型:不详难度:| 查看答案
下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列{
an
n
}
是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列;
其中真命题是(  )
A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4
题型:辽宁难度:| 查看答案
已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
1
2
,则其体积缩小到原来的
1
8

②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=
1
2
相切.
其中真命题的序号是(  )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
题型:天津难度:| 查看答案
给出下列命题:
①如果a,b是两条直线,且ab,那么a平行于经过b的任何平面;
②如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β;
③若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c也是异面直线;
④已知平面α⊥平面β,且α∩β=b,若a⊥b,则a⊥平面β;
⑤已知直线a⊥平面α,直线b在平面β内,ab,则α⊥β.
其中正确命题的序号是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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