设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有______（1）函数f（x）在R上有最小值；（2）当b＞0时，函数在R上是单调增函数；（3）函

题型：内江一模难度：来源：

设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有______
（1）函数f（x）在R上有最小值；
（2）当b＞0时，函数在R上是单调增函数；
（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；
（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根的充要重要条件是b²＞4|c|；
（5）方程f（x）=0可能有四个不同实数根．

答案

（1）当b＜0时，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c ，x≥0

-x2+bx+c，x＜0

值域是R，故函数f（x）在R上没有最小值；
（2）当b＞0时，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c ，x≥0

-x2+bx+c，x＜0

，知函数f（x）在R上是单调增函数；
（3）若f（x）=|x|x+bx那么函数f（x）是奇函数（f（-x）=-f（x）），也就是说函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象沿Y轴移动，故图象一定是关于（0，c）对称的．

魔方格

（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，
其充要重要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，
即b²-4c＞0，b²＞4|c|；
故（4）正确；
（5）f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c ，x≥0

-x2+bx+c，x＜0

的每一段分段函数的图象都是一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），由图角可得解得方程f（x）=0最多有三个不同的实根，不可能有四个不同实数根．所以（5）不正确．

故答案为：（2）（3）（4）．

举一反三

给出下列五个命题：
①已知直线a，b和平面α，若a∥b，b∥α，则a∥α；
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③双曲线

=1（a＞0，b＞0），则直线y=

x+m（m∈R）与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
⑤过M（2，0）的直线l与椭圆

+y²=1交于P₁P₂两点，线段P₁P₂中点为P，设直线l斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于-

．
其中，正确命题的序号为______．

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下列关于公差d＞0的等差数列{a_n}的四个命题：
p₁：数列{a_n}是递增数列；
p₂：数列{na_n}是递增数列；
p₃：数列{

}是递增数列；
p₄：数列{a_n+3nd}是递增数列；
其中真命题是（　　）

A．p₁，p₂

B．p₃，p₄

C．p₂，p₃

D．p₁，p₄

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已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的

，则其体积缩小到原来的

；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=

相切．
其中真命题的序号是（　　）

A．①②③

B．①②

C．①③

D．②③

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给出下列命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
③若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c也是异面直线；
④已知平面α⊥平面β，且α∩β=b，若a⊥b，则a⊥平面β；
⑤已知直线a⊥平面α，直线b在平面β内，a∥b，则α⊥β．
其中正确命题的序号是______．

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下列命题中的真命题是（　　）
①平行于同一条直线的两个平面平行
②平行于同一个平面的两条直线平行
③垂直于同一条直线的两个平面平行
④垂直于同一个平面的两个平面平行．

A．①②

B．②③

C．③④

D．③

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