(1)因为an+1≤an+1,且an+3≥an+3, 所以an+3≤an+3≤an+2+1≤an+1+1+1≤an+1+1+1=an+3, 所以an+3=an+3① 则an+4=an+1+3② ①-②得:an+4-an+3=an+1-an 在该式中依次取n=1,2,3,4,5,6… 可得a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=an+1-an 所以数列{an}构成等差数列,由an+3=an+3得an+3d=an+3, 所以d=1. 所以数列{an}是以a1=1为首项,以1为公差的等差数列, 所以an=a1+(n-1)d=1+n-1=n; 证明:(2)由an=b1+2b 2+3b3+…+nbn | 1+2+3+…+n | , 得:an=b1+2b2+…+nbn, 所以=b1+b2+…+nbn③, 则=b1+b2+…+(n-1)bn-1④, ③-④得:nbn=(n2-n-n2+2n-1), 所以bn=(n-1), 由bn+1-bn=n-(n-1)=, 所以数列{bn}是等差数列. (3)由dn=c1+2c 2+3c3+…+ncn | 1+2+3+…+n | , 得dn=c1+2c2+3c3+…+ncn⑤, 所以dn-1=c1+2c2+3c3+…+(n-1)cn-1⑥, ⑤-⑥得:ncn=(ndn+dn-ndn-1+dn-1), 若数列{dn}是等差数列,设其公差为m,则上式等价于 ncn=(nm+2dn-m), ⇔cn=mn+d1-⇔cn+1-cn=m. 所以若数列{cn},{dn}满足dn=c1+2c 2+3c3+…+ncn | 1+2+3+…+n | ,则数列{cn}成等差数列的充要条件是数列{dn}等差数列. |