已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0．
题型：不详难度：来源：
| 已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0． |
答案
证明：先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
再证充分性：
∵a3+b3+ab-a2-b2=0
∴（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0
即：（a2-ab+b2）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a2-ab+b2=(a-b)2+b2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0 |
举一反三
| 若p：x=x2，q：3-2x=x2，试讨论p是q的什么条件． |
| 已知条件p：-1≤x≤10，q：x2-4x+4-m2≤0（m＞0）不变，若非p是非q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？ |
| 已知P={x|a-4＜x＜a+4}，Q={x|x2-4x+3＜0}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围． |
| 求证：0≤a＜是不等式ax2-ax+1-a＞0对一切实数x都成立的充要条件． |
| 已知p：a+b≠5，q：a≠2或b≠3，则p是q的______条件． |
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