已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件.

已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件.

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已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件.
答案
证明:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)•pn-1
由于p≠0,p≠1,
∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,
a2
a1
=p,即(p-1)•p=p(p+q),
∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
再证充分性:
当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,
an=(p-1)•pn-1
an
an-1
=p(n≥2),
∴{an}是等比数列.
举一反三
命题P:“x=1”是命题Q:“x2-3x+2=0”的(  )条件.
A.必要不充分B.充分不必要
C.充要条件D.非充分非必要
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若函数f(x),g(x)的定义域都是R,则f(x)>g(x)(x∈R)成立的充要条件是(  )
A.存在一个x∈R,使得f(x)>g(x)
B.有无数多个x∈R,使得f(x)>g(x)
C.对R中任意的x,都有f(x)>g(x)+1
D.R中不存在x,使得f(x)≤g(x)
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“a>1”是“对任意的正数x,不等式2x+
a
x
≥1
成立”的(  )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的(  )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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关于函数f(x)=sin(2x+
π
6
),有如下结论:
①函数f(x)的最小正周期为π;
②函数y=f(x)的图象关于点(
π
6
,0)成中心对称;
③函数y=f(x+t)为偶函数的一个充分不必要条件是t=
π
6

④把函数y=sinx的图象向左平移
π
6
个单位后,再把图象上各点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),便得到y=f(x)的图象.
其中正确的结论有______.(把你认为正确结论的序号都填上)
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