已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件．

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求证q=-1是数列{a_n}成等比数列的充要条件．

答案

证明：当n=1时，a₁=S₁=p+q；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1．
由于p≠0，p≠1，
∴当n≥2时，{a_n}是等比数列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比数列，
则

a2

a1

=p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，即{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1．
再证充分性：
当p≠0且p≠1且q=-1时，S_n=pⁿ-1，
a_n=（p-1）•p^n-1，

an

an-1

=p（n≥2），
∴{a_n}是等比数列．