函数f(x)=x2+ax(x+1)(x-1)2为奇函数的充要条件是a=______．

题型：不详难度：来源：

函数f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

为奇函数的充要条件是a=______．

答案

必要性：因为函数f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

为奇函数，则f（-x）=-f（x）
∴

(-x)2+a(-x)

(-x+1)(-x-1)2

=-

x2+ax

(x+1)(x-1)2

∴f（-2）=-f（2）
∴

(-2)2+a(-2)

(-2+1)(-2-1)2

=-

x22+2a

(2+1)(2-1)2

解得a=-1；
充分性：当a=-1时，f(x)=

x2-x

(x+1)(x-1)2

=

x

(x+1)(x-1)

，此时满足f（-x）=-f（x），
故函数f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

为奇函数．
∴函数f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

为奇函数的充要条件是a=-1．
故答案为：-1．