(1)求导函数,可得f′(x)=2•(x>1) ①a≤1,x>1,则f′(x)>0,∴f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,∴f(x)min=f(1)=1; ②a>1,x>1,令f′(x)=0,可得x= 当x∈(1,)时,f′(x)<0,函数在[1,+∞)上是单调递减函数;当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,函数在[1,+∞)上是单调递增函数, ∴x=时,f(x)min=a-alna ∴g(a)=; (2)证明:记g(x)=f(x)-2ax=x2-2alnx-2ax,则g′(x)=(x2-ax-1) ①充分性:若a=,则g(x)=x2-lnx-x,g′(x)=(2x+1)(x-1) 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上是单调递减函数; 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是单调递增函数, ∴当x=1时,g(x)min=g(1)=0,即g(x)≥0,当且仅当x=1时取等号, ∴方程f(x)=2ax有唯一解; ②必要性:若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解,令g′(x)=0,可得x2-ax-a=0, ∵a>0,x>0,∴x1=(另一根舍去) 当x∈(0,x1)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x1)上是单调递减函数; 当x∈(x1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x1,+∞)上是单调递增函数. ∴当x=x2时,g′(x1)=0,g(x)min=g(x1),∵g(x)=0有唯一解,∴g(x1)=0, ∴ ∴ | x12-2alnx1-2ax1=0 | x12-ax1-a=0 |
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∴2alnx1+ax1-a=0 ∵a>0 ∴2lnx1+x1-1=0 设函数h(x)=2lnx+x-1 ∵x>0时,h(x)是增函数,∴h(x)=0至多有一解. ∵h(1)=0,∴方程2lnx1+x1-1=0的解为x1=1,即x1==1,∴a= 由①②知,“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=”. |