在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设f(x)=x2-3x+3x-2(x＞2)，g（x）=ax（

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在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设f(x)=

x2-3x+3

x-2

(x＞2)，g（x）=a^x（a＞1，x＞2）．
①若∃x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，则实数m的取值范围为______；
②若∀x₁∈（2，+∞），∃x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为______．

答案

①由f(x)=

x2-3x+3

x-2

=

(x-2)2+(x-2)+1

x-2

=(x-2)+

1

x-2

+1，
因为x＞2，所以由基本不等式得f(x)=(x-2)+

1

x-2

+1≥2

(x-2)⋅ 1 x-2

+1=3，
所以函数f（x）的值域是[3，+∞），所以要使∃x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，则m≥3，
即实数m的取值范围为[3，+∞）．
②因为a＞1，x＞2，所以g（x）≥a²，由①知f（x）的值域是[3，+∞），
所以要使∀x₁∈（2，+∞），∃x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
则有a²≤3，解得1＜a≤

3

，即实数a的取值范围为（1，

3

]．
故答案为：①[3，+∞），②（1，

3

]．