已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使=m+n，且m+n=1．

题型：不详难度：来源：

已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使=m+n，且m+n=1．

答案

解析

A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数λ，使得=λ．很显然，题设条件中向量表达式并未涉及、，对此，我们不妨利用=＋来转化，以便进一步分析求证．
证明 充分性，由=m＋n， m＋n=1， 得
＋=m＋n（＋）
=（m＋n）＋n=＋n，
∴=n．
∴A、B、C三点共线．
必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得=λ，   
即   +=λ（+）．
=（λ－1）＋λ=（1－λ）＋λ，
m=1－λ，n=λ，m＋n=1，
=m＋n．