解:由条件知 ,设 , (Ⅰ)设M(x,y),则 , , 由 得 , 于是AB的中点坐标为 ; 当AB不与x轴垂直时, , 因为A、B两点在双曲线上,所以 , 两式相减得 , 将 ,代入上式,化简得 ; 当AB与x轴垂直时, ,求得M(8,0),也满足上述方程; 故点M的轨迹方程是 ; (Ⅱ)假设在x轴上存在定点C(m,0),使 为常数。 当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是 , 代入 , 则x1、x2是上述方程的两个实根,所以 , 于是![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191104/20191104003055-58670.gif)
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, 因为 是与k无关的常数,所以4-4m=0即m=1,此时 ; 当AB与x轴垂直时,点A、B的坐标可别设为 , 此时 ; 故在x轴上存在定点C(1,0),使 为常数。 |