已知:A,B,C是直线l上的点,O是直线l外一点,且OA-[f(x)+f(1)3]OB+x3OC=0,若当x∈[-1,1]时,af(x)-3x+1≥0恒成立,则

已知:A,B,C是直线l上的点,O是直线l外一点,且OA-[f(x)+f(1)3]OB+x3OC=0,若当x∈[-1,1]时,af(x)-3x+1≥0恒成立,则

题型:不详难度:来源:
已知:A,B,C是直线l上的点,O是直线l外一点,且


OA
-[f(x)+
f(1)
3
]


OB
+x3


OC
=


0
,若当x∈[-1,1]时,af(x)-3x+1≥0恒成立,则实数a的值为______.
答案
∵A,B,C是直线l上的点,O是直线l外一点,且


OA
-[f(x)+
f(1)
3
]


OB
+x3


OC
=


0

∴f(x)+
f(1)
3
-x3=0,
∴f(1)+
f(1)
3
-1=0,
∴f(1)=
3
4

∴f(x)=x3-
1
4

∴af(x)-3x+1≥0为a(x3-
1
4
)-3x+1≥0
(1)a=0时,-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立
(2)a<0时,f′(x)=3ax2-3<0,f(x)是减函数,其最小值为f(1).
若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,则需f(1)≥0
3
4
a-3+1≥0,
∴a≥
8
3

∵a<0,∴此时无解.
(3)a>0时,f(x)=a(x3-
1
4
)-3x+1≥0恒成立,x∈[-1,1],
①x=0时,-
a
4
+1≥0成立,∴a≥4
②0<x≤1时,a≥
3x-1
x3

令g(x)=
3x-1
x3
,求导得g′(x)=
-6x+3
x4

易知0<x<
1
2
时函数递增,
1
2
<x<1时递减,
∴g(x)最大值为g(
1
2
)=4,
∴a≥4
③-1≤x<0时,a≤
3x-1
x3

令g(x)=
3x-1
x3
,求导得g′(x)=
-6x+3
x4

可知g(x)在-1<x<0时是增函数,其最小值为g(-1)=4
∴a≤4
由②知a≥4,
∴a=4.
综上知a=4.
举一反三
在矩形ABCD中,AC与BD交于O点,
.
BC
=5
.
e1
.
DC
=3


e2
,则


OC
等于(  )
A.
1
2
(5
.
e1
+3
.
e2
)
B.
1
2
(5
.
e1
-3


e2
)
C.
1
2
(-5
.
e1
+3
.
e2
)
D.-
1
2
•(5
.
e1
+3
.
e2
)
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已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量


m
=(a,b)


n
=(sinB,sinA)


p
=(b-2,a-2)

(1)若


m


n
,求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若


m


p
,边长c=2,角C=
π
3
,求△ABC的面积.
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已知向量


a
=(1,m)


b
=(m,2)
,若


a


b
,则实数m等于______.
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如图,梯形ABCD中ABCD,AB=2CD,点O为空间任意一点,设


OA
=


a


OB
=


b


OC
=


c
,则向量


OD


a


b


c
表示为(  )
A.


a
-


b
+2


c
B.


a
-


b
-2


c
C.-
1
2


a
+
1
2


b
+


c
D.
1
2


a
-
1
2


b
+


c

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已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,以


AB
=


a


AD
=


b
为基底向量,则


OB
=______.
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