已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足PA•PB=y2-8.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+b交于C、D两点,
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已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足PA•PB=y2-8.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+b交于C、D两点,
题型:不详
难度:
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已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足
PA
•
PB
=y
2
-8.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+b交于C、D两点,且OC⊥OD(O为原点),求b的值.
答案
(1)∵动点P(x,y)满足
PA
•
PB
=y
2
-8,
∴(-x,-2-y)•(-x,4-y)=y
2
-8,
∴x
2
+y
2
-2y-8=y
2
-8,化为x
2
=2y.
∴动点P的轨迹方程为x
2
=2y;
(2)设C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
).联立
y=x+b
x
2
=2y
,
化为x
2
-2x-2b=0,∴△=4+8b>0.
∴x
1
+x
2
=2,x
1
x
2
=-2b.(*)
∵
OC
⊥
OD
,∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=x
1
x
2
+(x
1
+b)(x
2
+b)=0,
化为
2
x
1
x
2
+b(
x
1
+
x
2
)+
b
2
=0
,
把(*)代入上式得-4b+2b+b
2
=0,解得b=0或2.满足△>0.
∴b=0或2.
举一反三
已知
a
、
b
均为单位向量,且|
a
+2
b
|=
7
,那么向量
a
与
b
的夹角为( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
5π
6
D.
2π
3
题型:不详
难度:
|
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已知
|
a
|=2
,
|
b
|=1
,
(
a
+
b
)⊥
b
,则
a
与
b
的夹角是( )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
题型:不详
难度:
|
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AB
|的最小值是( )
A.
7
19
B.
3
17
C.
3
17
17
D.
9
17
17
题型:不详
难度:
|
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B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
难度:
|
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