设平面内的向量OA=(1,7),OB=(5,1),OM=(2,1),点P是直线OM上的一个动点,求当PA•PB取最小值时,OP的坐标及∠APB的余弦值.

设平面内的向量OA=(1,7),OB=(5,1),OM=(2,1),点P是直线OM上的一个动点,求当PA•PB取最小值时,OP的坐标及∠APB的余弦值.

题型:不详难度:来源:
设平面内的向量


OA
=(1,7)


OB
=(5,1)


OM
=(2,1)
,点P是直线OM上的一个动点,求当


PA


PB
取最小值时,


OP
的坐标及∠APB的余弦值.
答案
由题意,可设


OP
=(x,y),∵点P在直线OM上,


OP


OM
共线,而


OM
=(2,1)

∴x-2y=0,即x=2y,故


OP
=(2y,y),


PA
=


OA
-


OP
=(1-2y,7-y),


PB
=


OB
-


OP
=(5-2y,1-y),
所以


PA


PB
=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12,
当y=-
-20
2×5
=2时,


PA


PB
=5y2-20y+12取最小值-8,
此时


OP
=(4,2),


PA
=(-3,5),


PB
=(1,-1),
∴cos∠APB=


PA


PB
|


PA
||


PB
|
=
-8


34


2
=-
4


17
17
举一反三
设向量


a


b
满足:|


a
|=1,|


b
|=2,


a
•(


a
+


b
)=0,则


a


b
的夹角是(  )
A.30°B.60°C.90°D.120°
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已知向量


a
=(m,n),


b
=(1,2),


c
=(k,t)
,且


a


b


b


c
,|


a
+


c
|=


10
,则mt的取值范围是(  )
A.(-∞,1]B.(0,1]C.[-1,1]D.(-1,1)
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已知△ABC的两顶点B(-1,0),C(1,0),周长为6
(1)求顶点A的轨迹L的方程;
(2)若关于原点对称的两点M,N在曲线L上,且已知G(-4,0),求


GM


GN
的取值范围.
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已知


a
=(-3,2,5)


b
=(1,-3,0)


c
=(7,-2,1)

(I)求(


a
+


b
)•


c

( II)求|


a
-


b
+2


c
|
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向量


a
与向量


b
的夹角为600,且|


a
|=2sin15°
|


b
|=4cos15°
,则


a


b
的值为 ______.
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