设函数f（x）=，其中向量=（sinx，-cosx），=（sinx，-3cosx），=（-cosx，sinx），x∈R，（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期

题型：湖北省高考真题难度：来源：

设函数f（x）=，其中向量=（sinx，-cosx），=（sinx，-3cosx），=（-cosx，sinx），x∈R，
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。

答案

解：（Ⅰ）由题意得，
f(x)==(sinx，-cosx)·(sinx-cosx，sinx-3cosx)
=sin²x-2sinxcosx+3cos²x
=2+cos2x-sin2x=2+sin(2x+)，
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是。
（Ⅱ）由sin(2x+)=0得2x+=kπ，即x=，k∈Z，
于是d=（，-2），k∈Z，
因为k为整数，要使|d|最小，则只有k=1，此时d=（-，-2）即为所求。