如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，。（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线L

题型：0105 模拟题难度：来源：

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线L，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设椭圆方程为
则
又∵，即
∴
故椭圆方程为；
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为的垂心，
设
∵
故
于是设直线l为，由得
∵
又
得
即
由韦达定理得

解得或（舍）
经检验符合条件。