已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2tcosθy=2sinθ(t为非零常数,θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O
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已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2tcosθy=2sinθ(t为非零常数,θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O
题型:不详
难度:
来源:
已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
x=2tcosθ
y=2sinθ
(t为非零常数,θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin(
θ-
π
4
)=2
2
.
(Ⅰ)求曲线C的普通方程并说明曲线的形状;
(Ⅱ)是否存在实数t,使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B,且
OA
•
OB
=10
(其中O为坐标原点)?若存在,请求出;否则,请说明理由.
答案
(Ⅰ)∵t≠0,∴可将曲线C的方程化为普通方程:
x
2
t
2
+y
2
=4.…(2分)
①t=±1时,曲线C为圆心在原点,半径为2的圆; …(4分)
②当t≠±1时,曲线C为中心在原点的椭圆.…(6分)
(Ⅱ)直线l的普通方程为:x-y+4=0.…(8分)
联立直线与曲线的方程,消y得
x
2
t
2
+(x+4)
2
=4,化简得(1+t
2
)x
2
+8t
2
x+12t
2
=0.
若直线l与曲线C有两个不同的公共点,则△=64t
4
-4(1+t
2
)•12t
2
>0,解得t
2
>3
又x
1
+x2=-
8
t
2
1+
t
2
,x
1
x
2
=
12
t
2
1+
t
2
,…( …(10分)
故
OA
•
OB
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=x
1
x
2
+(x
1
+4)(x
2
+4)=2x
1
x
2
+4(x
1
+x
2
)+16=10.
解得t
2
=3与t
2
>3相矛盾. 故不存在满足题意的实数t.…(12分)
举一反三
过点M(2,0)作圆x
2
+y
2
=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),则
MA
•
MB
=( )
A.
5
3
2
B.
5
2
C.
3
3
2
D.
3
2
题型:不详
难度:
|
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已知定点Q(0,5)和圆C:(x+2)
2
+(y-6)
2
=4
2
.
(1)若直线l过Q点且被圆C截得的线段长为
4
3
,求直线l的方程;
(2)求过Q点的圆C的弦的中点P的轨迹方程,并指出其轨迹是什么?
题型:不详
难度:
|
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设点O为坐标原点,向量
OA
=(2,2)
,
OB
=(1,4)
P为x轴上一点,当
AP
•
BP
最小时,点P的坐标为( )
A.(
3
2
,0)
B.(
-
3
2
,0)
C.(-1,0)
D.(1,0)
题型:不详
难度:
|
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已知直线l:y=x+b(b∈R)与圆C:(x-a)
2
+y
2
=8(a>0).
(1)若直线l与圆C相切于点P,且点P在y轴上,求圆C的方程;
(2)当b=2时,是否存在a,使得直线l与⊙C相交于A、B两点,且满足
OA
•
OB
=-1
,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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若向量
a
、
b
满足|
a
|=
2
,|
b
|=2,且(
a
-
b
)⊥
a
,则|
a
+
b
|=______.
题型:不详
难度:
|
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