在△OAB中，（1）若C为直线AB上一点，且AC=λCB(λ≠-1)，求证：OC=OA+λOB1+λ；（2）若OA•OB=0，|OA|=|OB|=a，且C为线段

题型：不详难度：来源：

在△OAB中，
（1）若C为直线AB上一点，且

AC

=λ

CB

(λ≠-1)，求证：

OC

=

OA +λ OB

1+λ

；
（2）若

OA

•

OB

=0，|

OA

|=|

OB

|=a，且C为线段AB上靠近A的一个三等分点，求

OC

•

AB

的值；
（3）若|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，且P₁，P₂，P₃，…，P_n-1为线段AB的n（n≥2）个等分点，求

OP1

•

AB

+

OP2

•

AB

+…+

OPn-1

•

AB

的值．

答案

（1）由

AC

=λ

CB

，得

OC

-

OA

=λ(

OB

-

OC

)．
即(1+λ)

OC

=

OA

+λ

OB

，因为λ≠-1，所以

OC

=

OA +λ OB

1+λ

．（4分）
（2）

OC

•

AB

=

OA +λ OB

1+λ

(

OB

-

OA

)=

1-λ

1+λ

OA

•

OB

+

λ

1+λ

OB

2-

1

1+λ

OA

2（6分）
因为

OA

•

OB

=0，|

OA

|=|

OB

|=a，所以

OC

•

AB

=

λ-1

λ+1

a2．
由于C为线段AB上靠近A的一个三等分点，故λ=

1

2

所以

OC

•

AB

=-

1

3

a2（8分）
（3）

OP1

•

AB

+

OP2

•

AB

+…+

OPn-1

•

AB

=

AB

(

OP1

+

OP2

+…+

OPn-1

)
=

AB

(

OA + 1 n-1 OB

1+ 1 n-1

+

OA + 2 n-2 OB

1+ 2 n-2

+…+

OA + n-1 n-(n-1) OB

1+ n-1 n-(n-1)

)（10分）
=

AB

[(

n-1

n

+

n-2

n

+…+

1

n

)

OA

+(

1

n

+

2

n

+

n-1

n

)

OB

]
=

n-1

2

(

OB

-

OA

)(

OB

+

OA

)=

n-1

2

(

OB

2-

OA

2)=n-1（14分）