已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（.AP+.BD）•（.PB+.PD）的最大值为 ______

题型：不详难度：来源：

已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（

.

AP

+

.

BD

）•（

.

PB

+

.

PD

）的最大值为 ______

答案

以A为坐标原点，以AB为X轴正方向，
以AD为Y轴正方向建立直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），
∵P点有对角线AC上，设P（x，x），0＜x＜2
所以

.

AP

=（x，x），

.

BD

=（-2，2），

.

PB

=（2-x，-x），

.

PD

=（-x，2-x）
（

.

AP

+

.

BD

）•（

.

PB

+

.

PD

）
=4x-4x²=-4（x-

1

2

）²+1
当x=

1

2

时，有最大值为1
故答案为：1