在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求OA•OB的值;(Ⅱ)如果OA•OB=-4,证明直线

在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求OA•OB的值;(Ⅱ)如果OA•OB=-4,证明直线

题型:南通模拟难度:来源:
在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.
(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求


OA


OB
的值;
(Ⅱ)如果


OA


OB
=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
答案
(Ⅰ)由题意:抛物线焦点为(1,0)
设l:x=ty+1代入抛物线y2=4x消去x得,
y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2
则y1+y2=4t,y1y2=-4


OA


OB
=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2
=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2
=-4t2+4t2+1-4=-3.

(Ⅱ)设l:x=ty+b代入抛物线y2=4x,消去x得
y2-4ty-4b=0设A(x1,y1),B(x2,y2
则y1+y2=4t,y1y2=-4b


OA


OB
=x1x2+y1y2
=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b
令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0∴b=2.
∴直线l过定点(2,0).
举一反三
已知椭圆C经过点A(1 


3
2
)
,且经过双曲线y2-x2=1的顶点.P是该椭圆上的一个动点,F1,F2是椭圆的左右焦点,
(1)求椭圆C的方程;
(2)求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值.
(3)求


PF1


PF2
的最大值和最小值.
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已知


a
=(2,1,3)


b
=(-4,2,x)
,且


a


b
,则|


a
-


b
|
=______.
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已知F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两个焦点,O为坐标原点,点P(-1,


2
2
)在椭圆上,且


PF1


F1F2
=0,⊙O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+m与⊙O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B:
(I)求椭圆的标准方程;    
(II)当OA•OB=
2
3
时,求k的值.
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在△ABC中,|


AB
|=


3
|


BC
|=1|
|


AC
|cosB=|


BC
|cosA
,则


AC


AB
=______.
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已知经过点Q(6,0)的直线l与抛物线y2=6x交于A,B两点,O是坐标系原点,求


OA


OB
的值.
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