设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,椭圆C上一点P(1,32)到F1、F2两点的距离之和等于4.又直线l:y=12x

设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,椭圆C上一点P(1,32)到F1、F2两点的距离之和等于4.又直线l:y=12x

题型:通州区一模难度:来源:
设F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,椭圆C上一点P(1,
3
2
)到F1、F2两点的距离之和等于4.又直线l:y=
1
2
x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l经过点F1,求△ABF2的面积;
(Ⅲ)求


OA
 • 


OB
的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题设可知,椭圆的焦点在x轴上,且2a=4,即a=2.            (1分)
又点A(1,
3
2
)在椭圆上,∴
1
4
+
(
3
2
 2
b2
=1
,解得b2=3.(2分)
∴椭圆C的标准方程是
x2
4
+
y2
3
=1
.                                          (3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,c2=a2-b2=1,即c=1,
∴F1、F2两点的坐标分别为(-1,0)、(1,0).                                    (4分)
∵直线l:y=
1
2
x+m经过点F1(-1,0),
∴0=
1
2
×(-1)+m,∴m=
1
2
.                                               (5分)
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由题意,有





x2
4
+
y2
3
=1
y=
1
2
x+
1
2
,消去x,整理得16y2-12y-9=0,
∴y1+y2=
3
4
,y1y2=-
9
16
.                                                (6分)
设△ABF2的面积为SABF2,则
SABF2=
1
2
|F1F2||y2-y1|=
1
2
×2


(y1+y2 2-4y1y2 
=


9
16
+
36
16
=
3


5
4

(Ⅲ)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由题意,有





x2
4
+
y2
3
=1
y=
1
2
x+m
,消去y,整理得x2+mx+m2-3=0  ①
x1+x2=-m,x1x2=m2-3.
∴y1y2=(
1
2
x1+m)(
1
2
x2+m)=
1
4
x1x2+
1
2
(x1+x2)m+m2
=
1
4
(m2-3)+
1
2
(-m)m+m2=
3
4
m2-
3
4
.                                      (10分)


OA


OB
=x1x2+y1y2=m2-3+
3
4
m2-
3
4
=
7
4
m2-
15
4
,(11分)
又由①得,△=m2-4(m2-3)=-3m2+12,
∵A、B为不同的点,∴△>0,∴0≤m2<4.     
∴-
15
4


OA


OB
13
4



OA


OB
的取值范围是[-
15
4
13
4
).                                          (14分)
举一反三
若平面向量


a


b
满足:|


a
+2


b
|≤3,则


a


b
的最大值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知


a
+


b
=2


i
-8


j
+


k


a
-


b
=-8


i
+16


j
-3


k


i


j


k
两两互相垂直),那么


a


b
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线的焦点F在y轴上,抛物线上一点A(a,4)到准线的距离是5,过点F的直线与抛物线交于M,N两点,过M,N两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为T.
(I)求抛物线的标准方程;
(II)求


FT


MN
的值;
(III)求证:|


FT
|是|


MF
|和|


NF
|
的等比中项.
题型:东城区二模难度:| 查看答案
等边三角形ABC的边长为a,则


AB


BC
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.
(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求


OA


OB
的值;
(Ⅱ)如果


OA


OB
=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
题型:南通模拟难度:| 查看答案
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