已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.(Ⅰ)求椭圆的
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已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.(Ⅰ)求椭圆的
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y
2
=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点
S (0, -
1
2
)
且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点,求|MN|的值.
答案
(Ⅰ)直线x-y+b=0与抛物线y
2
=4x联立,消去y得:x2+(2b-4)x+b2=0
∵直线x-y+b=0与抛物线y
2
=4x相切,
∴△=(2b-4)
2
-4b
2
=0,∴b=1,
∵椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴a=
2
b=
2
∴所求椭圆方程为
x
2
2
+
y
2
=1
;
(Ⅱ)将直线l:y=x-
1
2
与椭圆方程联立,消去y可得3x
2
-2x-
3
2
=0
设点A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=
2
3
,x
1
x
2
=-
1
2
∴|AB|=
1+1
•
|x
1
-x
2
|=
2
•
4
9
+2
=
2
11
3
举一反三
选修4-4:坐标系与参数方程
椭圆中心在原点,焦点在x轴上.离心率为
1
2
,点P(x,y)是椭圆上的一个动点,若
2x+
3
y
的最大值为10,求椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
2
2
.斜率为k(k≠0)的直线ℓ过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m),且当k=1时,下焦点到直线ℓ的距离为
2
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆C的中心坐标为原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率均为
2
2
,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A
且
AP
=λ
PB
.
(1)求椭圆方程;
(2)若
OA
+λ
OB
=4
OP
,求m
的取值范围。.
题型:宣武区二模
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,长轴在x轴上,经过点A(0,1),离心率
e=
2
2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l
n
:
y=
1
n+1
(n∈N*)与椭圆C在第一象限内相交于点A
n
(x
n
,y
n
),记
a
n
=
1
2
x
2n
,试证明:对∀n∈N*,
a
1
•
a
2
•…•
a
n
>
1
2
.
题型:江门一模
难度:
|
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(理)设斜率为k
1
的直线L交椭圆C:
x
2
2
+
y
2
=1
于A、B两点,点M为弦AB的中点,直线OM的斜率为k
2
(其中O为坐标原点,假设k
1
、k
2
都存在).
(1)求k
1
⋅k
2
的值.
(2)把上述椭圆C一般化为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),其它条件不变,试猜想k
1
与k
2
关系(不需要证明).请你给出在双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)中相类似的结论,并证明你的结论.
(3)分析(2)中的探究结果,并作出进一步概括,使上述结果都是你所概括命题的特例.
如果概括后的命题中的直线L过原点,P为概括后命题中曲线上一动点,借助直线L及动点P,请你提出一个有意义的数学问题,并予以解决.
题型:杨浦区二模
难度:
|
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