已知双曲线C的中心在原点,D(1,0)是它的一个顶点,d=(1,2)是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程;(2)若过点(-3,0)任意作一条直

已知双曲线C的中心在原点,D(1,0)是它的一个顶点,d=(1,2)是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程;(2)若过点(-3,0)任意作一条直

题型:松江区二模难度:来源:
已知双曲线C的中心在原点,D(1,0)是它的一个顶点,


d
=(1,


2
)
是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点(-3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点 (A,B都不同于点D),求证:


DA


DB
为定值;
(3)对于双曲线Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E为它的右顶点,M,N为双曲线Γ上的两点(都不同于点E),且EM⊥EN,那么直线MN是否过定点?若是,请求出此定点的坐标;若不是,说明理由.然后在以下三个情形中选择一个,写出类似结论(不要求书写求解或证明过程).
情形一:双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
及它的左顶点;
情形二:抛物线y2=2px(p>0)及它的顶点;
情形三:椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
及它的顶点.
答案
(1)设双曲线C的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,则a=1,
b
a
=


2
,得b=


2
,所以,双曲线C的方程为x2-
y2
2
=1

(2)当直线AB垂直于x轴时,其方程为x=-3,A,B的坐标为(-3,4)、(-3,-4),


DA
=(-4,4),


DB
=(-4,-4)
,得


DA


DB
=0.
当直线AB不与x轴垂直时,设此直线方程为y=k(x+3),由





y=k(x+3)
2x2-y2=2
得(2-k2)x2-6k2x-9k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
6k2
2-k2
x1x2=
-9k2-2
2-k2



DA


DB
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)

=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1
=(k2+1)
-9k2-2
2-k2
+(3k2-1)
6k2
2-k2
+9k2+1=0.综上,


DA


DB
=0为定值.
(3)当M,N满足EM⊥EN时,取M,N关于x轴的对称点M"、N",由对称性知EM"⊥EN",此时MN与M"N"所在直线关于x轴对称,若直线MN过定点,则定点必在x轴上.
设直线MN的方程为:x=my+t,





x=my+t
b2x2-a2y2=a2b2
,得(b2m2-a2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=
-2b2mt
b2m2-a2
y1y2=
b2(t2-a2)
b2m2-a2

由EM⊥EN,得(x1-a)(x2-a)+y1y2=0,(my1+t-a)(my2+t-a)+y1y2=0,
(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0(1+m2)
b2(t2-a2)
b2m2-a2
-m(t-a)
2b2mt
b2m2-a2
+(t-a)2=0

化简得,t=
a(a2+b2)
a2-b2
或t=a(舍),
所以,直线MN过定点(
a(a2+b2)
a2-b2
,0).
情形一:在双曲线Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
中,若E"为它的左顶点,M,N为双曲线Γ上的两点(都不同于点E"),且E"M⊥E"N,则直线MN过定点(-
a(a2+b2)
a2-b2
,0).
情形二:在抛物线y2=2px(p>0)中,若M,N为抛物线上的两点(都不同于原点O),且OM⊥ON,则直线MN过定点(2p,0).…..(16分)
情形三:(1)在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,若E为它的右顶点,M,N为椭圆上的两点(都不同于点E),且EM⊥EN,则直线MN过定点(
a(a2-b2)
a2+b2
,0);
(2)在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,若E"为它的左顶点,M,N为椭圆上的两点(都不同于点E"),且E"M⊥E"N,则直线MN过定点(
a(b2-a2)
a2+b2
,0);
(3)在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,若F为它的上顶点,M,N为椭圆上的两点(都不同于点F),且FM⊥FN,则直线MN过定点(0,
b(b2-a2)
a2+b2
);        
(4)在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,若F"为它的下顶点,M,N为椭圆上的两点(都不同于点F"),且F"M⊥F"N,则直线MN过定点(0,
b(a2-b2)
a2+b2
).
举一反三
在△ABC中,b,c分别为内角B,C的对边长,设向量


m
=(cos
A
2
,-sin
A
2
)


n
=(cos
A
2
,sin
A
2
),且有


m


n
=


2
2

(1)求角A的大小;
(2)若a=


5
,求三角形面积的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若|


AC
|=1,则


AD


AC
=______.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A在抛物线上,O为坐标原点,若∠OFA=120°,且


FO


FA
=-8
,则抛物线的焦点到准线的距离等于______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知P为边长为1的等边△ABC所在平面内一点,且满足


CP
=


CB
+2


CA
,则


PA


PB
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,∠ABC=90°,若BD⊥AC且BD交AC于点D,|


BD
|=


3
,则


BD


CB
=(  )
A.-3B.3C.-


3
D.


3
题型:不详难度:| 查看答案
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