已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：AP2+CP2=BP2+DP2，那么四边形ABCD一定是（　　）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形

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已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：AP2+CP2=BP2+DP2，那么四边形ABCD一定是（　　）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形

题型：武汉模拟难度：来源：
已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足：


AP2
+


CP2
=


BP2
+


DP2
，那么四边形ABCD一定是（　　）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
答案
设A（0，0），B（a，0），C（xc，yc），D（xD，yD），P（x，y）
则


AP
=（x，y），


BP
=(x-a，y)，


CP
=（x-xC，y-yc），


DP
=(x-xD，y-yD)
∵


AP2
+


CP2
=


BP2
+


DP2
，
∴x2+y2+（x-xc）2+（y-yc）2=（x-a）2+y2+（x-xD）2+（y-yD）2
整理得-2xCx-2yCy+xC2+yC2=-2（a+xD）x-2yDy+a2+xD2+yD2
对比系数得





xC=a+xD
yC=yD
x2C
+
y2C
=a2+
x2D
+
y2D

由xC=xD+a知|CD|=a，又yC=yD，故四边形ABCD为平行四边形．
而





xC2
+
yC2
=a2+
xD2
+
yD2
，则平行四边形ABCD为矩形
故选C．
举一反三
已知两个单位向量


a
与


b
的夹角为
π
3
，则


a
+λ


b
与λ


a
-


b
互相垂直的充要条件是（　　）
A．λ=-


3
2
或λ=


3
2
B．λ=-
1
2
或λ=
1
2
C．λ=-1或λ=1D．λ为任意实数
题型：四川难度：| 查看答案
已知


e1
，


e2
是相互垂直的单位向量，


a
=λ


e1
+


e2
，


b
=


e1
-2


e2
，且


a，


b
垂直，则λ=______．
题型：顺德区模拟难度：| 查看答案
已知向量


a
=（1，2），


b
=（-3，2），如果k


a
+b


b
与


b
垂直，那么实数k的值为______．
题型：朝阳区二模难度：| 查看答案
已知单位向量


a
，


b
夹角为60°，且(


a
-m


b
)⊥(


a
+


b
)，则m=（　　）
A．1B．-1C．2D．-2
题型：朝阳区二模难度：| 查看答案
已知向量


a
=(1，1)，


b
=(2，3)，向量λ


a
-


b
垂直于y轴，则实数λ=______．
题型：江苏模拟难度：| 查看答案
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